Найти экстремумы функции u = x² + y² - 12x + 16y при ограничении x² + y² = 25.
Составим функцию Лагранжа:
L(x, y, λ) = x² + y² - 12x + 16y + λ(25 - x² - y²)
Найдем частные производные и приравняем их к нулю:
Из первых двух уравнений получаем:
x(1 - λ) = 6
y(1 - λ) = -8
Разделим второе уравнение на первое:
y/x = -8/6 = -4/3 ⇒ y = -4x/3
Подставим в уравнение ограничения:
x² + (-4x/3)² = 25
x² + 16x²/9 = 25
25x²/9 = 25
x² = 9 ⇒ x = ±3
Соответственно:
Вычислим значения функции в этих точках:
Минимальное значение: u = -75 в точке (3, -4)
Максимальное значение: u = 125 в точке (-3, 4)